Урок 1. Числові нерівності. Доведення числових нерівностей.
| 
|
Означення. Число а більше від числа b, якщо а – b > 0; число а менше від числа b, якщо а – b < 0. |
|
3 цього означення випливає умова рівності двох чисел: число а дорівнює числу b, якщо а - b = 0. |
|
Види числових нерівностей |
|
Числові нерівності поділяють на такі види: 1) за знаком — строгі (а > b, а < b) і нестрогі (а ≥ b, a ≤ b); 2) за змістом — правильні (3 > 2) і неправильні (3 > 4). |
|
Алгоритм доведення числових нерівностей |
|
Щоб довести, що нерівність f(x) < g(x) (f(x) > g(x)) правильна при будь-яких значеннях змінних, треба: 1) знайти різницю лівої та правої частин нерівності: f(x) – g(x); 2) перетворити (спростити, виділити повний квадрат тощо) різницю так, щоб можна було визначити її знак (< 0, > 0; = 0 ); 3) скориставшись означенням, зробити висновок. |
|
Приклад. Доведемо нерівність а(а – 4) < (а – 2)2. Доведення. Знайдемо різницю лівої та правої частин нерівності та перетворимо її: |
|
а(а – 4) – (а – 2)2 = а2 – 4а – (а2 – 4а + 4) = а2 – 4а – а2 + 4а - 4 = -4. Оскільки різниця лівої та правої частин нерівності дорівнює -4 < 0, то за означенням ліва частина менша від правої, тобто а(а – 4) < (а – 2) при будь-яких а. |
Усні вправи
1.Порівняйте з нулем різницю правої та лівої частин нерівності:
1) х < у; 2) а ≥ b; 3) 3 > х; 4) т ≤ 2.
2.Відомо, що т > п. Чи може т – п дорівнювати:
1) -3; 2) 0; 3) 0,3; 4) а2?
Контрольні запитання
1.Заповніть пропуски:
1) т > п, якщо т ... п ... 0;
2) х < у, якщо х ... у ... 0;
3) х ... у, якщо х – у = 0.
2.Що означає запис:
1) a > b; 2) c < d?
Домашнє завдання
1. Вивчити означення понять, розглянутих на уроці.
2. Розв'язати вправи: на порівняння чисел за даним значенням їхньої різниці; порівняння дійсних чисел за означенням; доведення нерівностей (найпростіші випадки).
3. Повторити: формули скороченого множення (зокрема квадрат двочлена), властивості степеня з парним і непарним натуральним показником.