Урок 2. Числові нерівності. Доведення числових нерівностей.
| 
| 
|
Доведення нерівностей |
|
1. Довести нерівність: , якщо а > 0; b > 0. |
|
Доведення. Знайдемо різницю лівої та правої частин нерівності: Оскільки а > 0, b > 0, то ab > 0. Оскільки (a – b)2 ≥ 0, то , отже, нерівність доведена.
Сума додатних взаємно обернених чисел не менша за 2. |
|
Зауваження: рівність має місце при а = b. |
|
2. Довести нерівність: , якщо а ≥ 0; b ≥ 0. |
|
Доведення. Знайдемо різницю лівої та правої частин нерівності: Оскільки (для всіх а ≥ 0; b ≥ 0), то , тобто нерівність доведена. Середнє арифметичне двох невід'ємних чисел не менше за їх середнє геометричне. |
|
Зауваження: рівність має місце лише при а = b або а = b = 0. |
|
Приклад. Доведемо нерівність . |
|
Доведення. Подамо вираз у вигляді . Отже, є середнім арифметичним чисел b2 + 4 і 1, b2 + 4 1, тому за доведеною нерівністю 2 ця величина більша за середнє геометричне цих чисел, тобто , тобто . |
Усні вправи
1.Порівняйте числа а і b, якщо:
1) а – b = -5; 2) а – b = 4,5; 3) а – b = -19,8;
4) b – а = -0,1; 5) а – b = 0.
2.Подайте у вигляді квадрата двочлена вираз:
1) х2 – 2х + 1; 2) т2 + 10т + 25; 3) х2 – 6т + 9;
4) т2 – тп + п2 – тп; 5) х – 2 + у (х > 0; у > 0).
3.Порівняйте з нулем значення виразу:
1) т2; 2) т2 + 1; 3) (т + 1)2; 4) т2 + 2тп + п2 + 1.
Контрольні завдання
1.Заповніть пропуски:
1) т + ... > 2, т > 0; 2) , т ≥ 0, n ≥ 0.
2.Порівняйте вирази тіл, якщо:
1) т – п = а2; 2) т – п = а2 + 4;
3) т – п = а2 – 2а + 1; 4) т – n = а2 – 2а + 2.
Домашнє завдання
1.Вивчити схему доведення нерівностей, розглянутих на уроці.
2.Розв'язати вправи: на доведення нерівностей, подібних до розглянутих на уроці.