Урок 3. Основні властивості числових нерівностей.
| 
| 
|
Основні властивості числових нерівностей |
|
1. Якщо a > b, то b < a. |
|
Доведення |
|
a > b a – b > 0 b – a = -(a – b) < 0 b < a. |
|
2. Якщо a < b, b < c, то a < c. |
|
Доведення |
|
a < b a – b < 0; b < c b – c < 0, тобто (a – b) + (b – c)<0. (a – b) + (b – c) = a – b + b – c = a – c < 0 a < c. |
|
3. Якщо а < b, а с — будь-яке число, то а + с < b + с. |
|
Доведення |
|
a < b a – b < 0; a – b = a + c – c – b = (a + c) + (b + c) < 0 a + c < b + c. |
|
4. Якщо a < b, c > 0, то aс < bс і . Якщо а < b, с < 0, то ас > bc; . |
|
Доведення |
|
a < b a – b < 0; ac – bc = c(a – b), причому якщо с > 0, то с(а – b) < 0, а якщо с < 0, то с(а – b)>0. Отже, якщо а < b і с > 0, то ас < bc; c < 0, то ас > bс. Нерівності і доводимо аналогічно. |
|
Наслідки з властивостей числових нерівностей |
|
1. Якщо а < b + с, то а – с < b. |
|
Доведення a < b + c a – (b + c) < 0, тоді а – b – с = (а – с) – b < 0, тобто а – с < b. |
|
2. Якщо а > 0 і b > 0, і a < b, то . |
|
Доведення a < b a – b < 0. . . |
|
Приклад. Відомо, що а < b. Порівняємо значення виразів: 2а + 3 і 2b + 5. |
|
Розв'язання а < b | ∙ 2; оскільки 2 > 0, то 2а < 2b | + 3; 2а + 3 < 2b + 3. 3 < 5 | + 2b; оскільки 2 > 0, то 2b + 3 < 2b + 5. Отже, 2а + 3 < 2b + 5. |
Усні вправи
1.Порівняйте числа:
1) m і n, якщо п > т; 2) т + 3 і п + 3, якщо т > п;
3) 3т і 3n, якщо т > п; 4) т і k, якщо т > п; n > k.
2.Відомо, що а > 5. Визначте (з обґрунтуванням), чи є правильною нерівність:
1) а + 4 > 9; 2) 3а > 15; 3) –а < -5.
Домашнє завдання
1.Вивчити зміст та доведення властивостей числових нерівностей
2.Розв'язати вправи на застосування властивостей числових нерівностей, аналогічні вправам класної роботи.
3.На повторення: поняття подвійної нерівності та вправи на застосування цього поняття.